无网格法的简介

2017-07-30 by:CAE仿真在线来源:互联网

无网格方法诞生于1977年。Lucy L B,Gingold R A,Monaghan J J等,使用SPH方法模拟无边界的天体现象,这是最早的无网格方法。在SPH方法中,近似函数使用核(kerne)近似,方程离散使用配点法,其精度比较低,并且容易出现不稳定性。

在随后的15年里,无网格的发展处于停滞状态。直到1992年,Nayroles使用移动最小二乘法(MLS)进行节点近似,并使用Galerkin方法进行边值问题求解,他称这种方法为Diffuse Element Method(DEM)。在DEM中,只需要分布的节点和边界描述,不需要进行网格划分,这也正是“无网格”的由来。

1994年,西北大学的Belytschko教授同样使用MLS进行节点近似,但考虑了在DEM中忽略的形函数导数的某些项,并使用Lagrange乘子施加本质边条,称其为无单元伽辽金方法(EFG)。EFG比DEM精确,在许多领域获得广泛的应用,特别是在裂缝生长,晶体生长,大变形的等问题中。此后,无网格方法迅猛发展,目前不同的无网格方法有十多种:SPH,DEM,EFG,RKPM(再生核质子法),FPM(有限点方法),BNM(边界节点方法),PU(单位分解),PUFEM(单位分解有限元),HP-Cloud(HP云,或HP覆盖),MLPG(无网格局部Petrov-Galerkin方法),LBIE(局部边界积分方程方法),MFS(有限球方法),FMM(Free Mesh Method),NEM(自然元)等等。

无网格方法的一个重要贡献就是,不仅在于其本身,对于有限元,有限差分的推动作用也是非常大的。如单位分解有限元,使得有限元的精度大大提高,不再是C0的了。广义有限元和广义有限差分的出现也是由于无网格的推动作用。

无网格方法出现之前,有限元方法是固体和结构分析中应用最广泛的数值方法。我们知道,对于一个很复杂的一维函数,在全域内直接进行逼近是不容易的,于是我们一般将其定义域划分成小段,在每一段是用较低阶次的差值,每段交界处满足某些连续性条件,就会得到一个较好的插值结果。一维函数要分段,二维三维的就划分成网格了,在每个小网格上用简单的插值函数表示全域上的复杂函数,这就是有限元方法基本出发点,也完成了微分方程求解的第一步,也就是近似解空间的构造。至于后面的伽辽金方法啦,势能泛函啦,刚度矩阵啦,都是在插值方法的基础上进行的固定套路。网格的引入将插值问题从整体引向了局部,这就大大减小了插值函数构造的难度,既然近似解空间顺利地构造了出来,那么后面的的求解就是顺理成章的事情了。于是有限远方法成了偏微分方程求解的首选方法,在力学和工程上获得了最广泛的应用。当然,有限元方法也有其自身的缺点,当然这些缺点也大都来源于网格。首先不是在所有的网格上都能构造出适定的插值函数来的,如果网格出现内凹等情况,那么就不能构造出适定的插值函数。即便在划分初始网格的时候充分注意保证不出现奇异的网格,后续若变形过大也很难保证变形后的网格不奇异,这就使得有限元方法在处理极端大变形的时候出现困难。其次,有限元插值函数的构造还需考虑网格之间的连续性,对于C0连续性,构造是十分简单的,但是一旦连续性要求提高,譬如要求C1连续性,那么插值函数的构造就变得异常困难,困难到迄今为止对于板壳问题也没有构造出完全满足C1连续性的单元。还有,如果计算过程中需要重新划分网格,譬如裂缝扩展问题或者自适应分析问题,网格的拓扑结构发生了变化,其计算成本机会变得非常大。

既然有限元方法也有这样那样的缺点,那么我们就希望解决这些问题。首先说这些问题都来源于网格,那么直接在有限元基础上对其进行改进,效果自然不会达到最好,于是研究者把革命的对象锁定在了网格上。几经尝试以后,一种基于点集的插值方法被研究者广泛采用,现今的无网格方法,一般就指的是这一类基于点集的数值方法。其实这一类方法很早就有人研究过,不过一直都不温不火地停留在计算数学的层面上,没有进入力学和应用领域。直到上世纪九十年代,TB发现了这类方法的潜力并发表了几篇代表性论文,解决了二维裂缝的端部场分析和扩展问题,才引起了研究者的广泛关注,并且诞生了一系列系统的研究,其中我美国这边的导师赖以扬名立万的工作就是他在九十年代中后期利用无网格方法进行固体大变形分析方面的工作。这类方法至少在某种程度上摈弃了网格,直接在点集上构造插值基函数,自然而然地解决了有限元方法所不能解觉得问题,譬如大变形,高阶连续性插值和自适应求解,特别是看到TB漂亮地解决了二维裂纹动态扩展问题,研究者和工程师无不欢呼雀跃,认为这一类方法是继有限元之后的下一代通用数值方法。我就是在这种情况下接触无网格方法的,并且带着对于新一代数值方法的渴求来到美国,投师无网格方法的重量级学者。然而,经过了一段时间的学习之后,现今的认识却与最初大相径庭,至少现在我不认为这类方法能够代替有限元方法成为下一代通用数值方法。因为我通过自己编程一步一步下来,发现较之于有限元方法,无网格方法的问题一点不比它的优点少。首先说无网格方法确实提高了插值的连续性,但同时也极大地提高了计算量,求解域内的每个点的插值系数都需要对相应节点耦合矩阵求逆,光滑性越高耦合矩阵的阶数就越高,相应的求逆就越耗费计算量,较之于有限元方法,这一部分计算负担实在太重。对于被奉为经典的二维裂缝扩展问题,仔细考察就会发现裂缝扩展问题的关键技术在于加强函数(enrichment)的采用,其实用不用无网格插值都可以,用有限元插值也没有任何问题,这就是后来发展的,也是现在最热门的扩展有限元方法(XFEM)。

无网格方法的优势只在于极端大变形问题,譬如冲击、爆破等问题,就目前情况很难成为一种通用的被广泛接受的数值方法。