有限差分法

  一种求偏微分(或常微分)方程和方程组定解问题的数值解的方法,简称差分方法。

  微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关,在初始时刻所要满足的定解条件,称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题,称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题,称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题,称为初值边值混合问题。

  定解问题往往不具有解析解,或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法,它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分,然后在网格点上,按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商,从而把原问题离散化为差分格式,进而求出数值解。此外,还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性),等等。

  有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点,容易在计算机上实现。

偏微分方程初值问题的差分法 许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质:若初始时刻t=t0的解已给定,则t>t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。利用差分法解这类问题,就是从初始值出发,通过差分格式沿时间增加的方向,逐步求出微分方程的近似解。

偏微分方程边值问题的差分法 物理上的定常问题,如弹性力学中的平衡问题,亚声速流、不可压粘性流、电磁场及引力场等可归结为椭圆型方程。其定解问题为各种边值问题,即要求解在某个区域D内满足微分方程,在边界上满足给定的边界条件。椭圆型方程的差分解法可归结为选取合理的差分网格,建立差分格式,求解代数方程组以及考察差分格式的收敛性等问题。

差分方法的发展和应用 前面阐述了两个自变量,线性方程的差分法。实际问题常会遇到多个自变量,非线性的方程或方程组;它们还可能是混合型的偏微分方程(如机翼的跨声速绕流),其解包含着各种间断(如激波间断、按触间断等)。非线性问题的差分法求解是十分困难的。随着电子计算机的发展,在解决各种非线性问题中,差分法得到了很快的发展,并且出现了许多新的思想和方法,如守恒差分格式,时间相关法、分步法等。

有限差分方法已成为解各类数学物理问题的主要数值方法,也是计算力学中的主要数值方法之一。有些解偏微分问题的方法(如特征线法、直线法)实质上也是差分方法的一种形式。在固体力学中,有限元方法出现以前,主要采取差分方法;在流体力学中,差分方法仍然是主要的数值方法。当然,对于某些具有复杂的几何形状及复杂的流动现象的实际问题,差分方法还有待进一步发展。

  参考书目

 冯康等编:《数值计算方法》,国防工业出版社,北京,1978。

 胡祖炽编:《计算方法》,高等教育出版社,北京,1959。

 清华大学、北京大学《计算方法》编写组编:《计算方法》,科学出版社,北京,1980。

 朱幼兰等著:《初边值问题差分法及绕流》,科学出版社,北京,1980。

 R.D.里奇特迈尔著,何旭初等译:《初值问题差分方法》,科学出版社,北京,1966。(R.D.Richtmyer,Difference Methods for Initial-Value Problems, Interscience Pub., New York,1957.)

 R.D.Richtmyer, K.W.Morton, Difference Methods for Initial-Value Problems, 2nd ed.,Interscience Pub.,New York,1967.