什么是CFD中的"矩阵预条件"!

2017-03-30  by:CAE仿真在线  来源:互联网

任何一个矩阵方程组都可以通过直接求解(高斯消去法或LU分解法)来计算。但是,LU分解之后会把原本稀疏的矩阵变成密集矩阵。所以直接求解法会耗费非常多的计算资源。同时,CFD计算中离散的误差远大于矩阵求解的误差,因此我们没必要那么精确的计算矩阵方程。只要比离散精度高就可以。

对于稀疏矩阵,通常我们选用迭代求解技术,通常我们估计一个初始值,然后系统的使这个值逼近真实解。如果每次迭代很经济并且需要很少的迭代次数的话,那么迭代求解就比直接求解经济的多了。在CFD中,我们通常使用迭代求解技术。

然而,迭代求解器一个众所周知的弱点就是不是很稳健。虽然迭代求解器可以快速的求解矩阵系统,但是这个缺点导致其在工业应用上收到了严重的限制。稳健性和效率可以通过预条件(pre-conditioning)来提高。预条件矩阵M可以有很多不同的选择,但是通常其满足一些最低的要求。比如,求解Mx=b需要是非常经济的,同时,M应该和A接近并且应该是非奇异的。

举例:我们有矩阵系统:

移项有(注:不要被下面的n和n-1搞晕了,在迭代收敛的时候,n和n-1的phi是相等的,因此下面这个方程就是上面那个方程):

在CFD中,我们称M即为预条件(预处理)矩阵(Pre-conditioning Matrix)。

一种非常受欢迎的预条件矩阵建立于不完全LU分解上,有关不完全LU分解,coming soon!

Computational Methods for Fluid dynamics. J.H. Ferziger. Page.67.

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