应力客观率是什么？

2017-03-15  by:CAE仿真在线  来源:互联网

因为一直在研究非线性、大变形的固体力学,我来试着回答一下。简单的来讲,objective rate是对应力变化率的一个测定,它在刚体旋转的情况下为0,这就是所谓的“客观”。下面深入介绍一下。

要了解什么叫做objective rate不如先来了解什么样的rate不objective。我主要参考了Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures,作者 Ted Belytschko等。加上了一点自己的理解。

首先我假定你知道最常见的Cauchy stress tensor,

。然后进行以下定义(虽然很常见,但不同书上记法不同所以还是申明一下):

一个固体微元速度为

,定义速度梯度张量velocity gradient tensor为

现在有一个hypoelastic材料,其应力应变关系由如下本构方程描述:

那么这个本构方程是一个有效的方程吗?答案是否定的。为什么呢?看下图。;

在刚体转动中,固体的初始应力状态是“冻结”住的,也就是说对于一个骑在这根杆上的观察者来说应力是不变的。(这句话有严格证明,不过因为直观上很好理解,我略去证明过程)那么对于地面上的观察者来说,Cauchy stress显然变了,也就是说
回头看(1)中的本构方程,左边不为0,右边却为0,显然它作为一个描述材料应力应变关系的方程来讲是失败了。在实际情况中,大尺度的转动很常见,要想处理好这些情况,我们就不得不另找一个stress rate来代替 ,使得在刚体转动中,在初始参考系下,初始的应力状态保持不变,这样的stress rate就叫做objective rate,也叫做frame-invariant rate。题主问的Green-Naghdi rate就是其中的一种。
下面介绍三种objective rate,其中就包括题主问的Green-Naghdi rate。

• Jaumann rate

还是考虑一样的问题,我们在(1)式右边加上两项,这两项专门用来对付刚体旋转:

其中 是上文介绍的spin tensor。(2)中等号右边第一项是材料变形的结果,后两项是刚体旋转的结果。(证明略)
(2)是一个有效的本构方程。我们改写一下使其更简洁:

其中
这 就是著名的Jaumann rate.

• Green-Naghdi rate

Green-Naghdi rate与Jaumann rate的区别仅在于对刚体旋转的描述上。下面是它的定义:

这里

其中 是刚体旋转的矩阵,并且每个deformation tensor中都可以分解为一个rigid body rotation tensor点乘一个stretch tensor(证明略)。
Green-Naghdi rate一样可以解决开头提出的问题,也常被用在本构方程中。

• Truesdell rate

也是一个常用的objective rate,定义是

其中
在小变形的情形下,用不到这些。但如果你要考虑大尺度变形、旋转什么的,这些objective rate就要派上用场了。但hyperelastic material又是例外,因为它在变形过程中保持strain energy potential恒定这个特点为我们提供一个天然的objective的框架。
希望我把问题说明白了。想深入学习请参考我开头提到的书。

作者:Leny

链接:https://www.zhihu.com/question/33043331/answer/57293954

来源:知乎

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